Calculadora de PA e PG
O Menino Prodígio e a Soma de 1 a 100
Existe uma lenda famosa na matemática sobre Carl Friedrich Gauss, conhecido como o "Príncipe da Matemática". No final do século 18, quando ele tinha apenas 10 anos, seu professor, querendo manter a turma ocupada, pediu que somassem todos os números de 1 a 100.
O professor esperava que eles demorassem horas. Gauss levantou a mão em segundos com a resposta correta: 5.050.
Como ele fez isso?
Ele percebeu que somar o primeiro com o último (1 + 100) dava 101. O segundo com o penúltimo (2 + 99) também dava 101. Com 100 números, ele tinha 50 pares de 101.
50 × 101 = 5.050
Sem saber, ele havia acabado de deduzir a fórmula da Soma da Progressão Aritmética que esta calculadora usa hoje.
Escadas vs. Foguetes: Entendendo a Diferença
A diferença entre PA e PG é a diferença entre caminhar e voar. É fundamental entender isso para finanças e biologia.
PACrescimento Linear
É como subir uma escada. Você sobe a mesma altura a cada degrau. É constante, previsível e seguro.
- Corrida de Táxi (preço por km)
- Empilhar tijolos
- Guardar dinheiro no colchão
PGCrescimento Exponencial
É como uma bola de neve ou uma epidemia. Começa devagar, mas de repente explode para números gigantescos.
- Juros Compostos
- Vídeos Virais (compartilhamentos)
- Reprodução de bactérias
O Paradoxo do Infinito
A Soma Infinita que dá um número finito
Na Progressão Geométrica, se a razão for menor que 1 (ex: 0,5), acontece algo mágico. Os números ficam tão pequenos que você pode somá-los para sempre e o resultado nunca passará de um certo limite.
*Este é o princípio por trás do famoso Paradoxo de Zenão (Aquiles e a Tartaruga) e é a base do Cálculo Integral.
Cola Rápida de Fórmulas
| Objetivo | Aritmética (PA) | Geométrica (PG) |
|---|---|---|
| Achar um termo | an = a1 + (n-1)r | an = a1 · q⁽ⁿ⁻¹⁾ |
| Somar tudo | Sn = (a1 + an)n / 2 | Sn = a1(qⁿ - 1) / (q - 1) |